Mathpediaの位相空間論0 命題 0.7で述べられている「境界を含まない長方形」がR²の開集合であることを証明する

証明

$U$を

U = \big\{ (x,y) \in \R^2 | a < x < b, c < y < d \big\}

と定める。

ここで、

\forall x \in U\ \exists r > 0\ \big[ B(x,r) \subset U \big]

を示す。

任意に$x=(x',y') \in U$と定める。ここで$r$を

r = \min \big\{ x'-a,b-x',y'-c,d-y' \big\}

とおく。

これを不等式で表すと、

r \le x'-a, r \le b-x', r \le y'-c, r \le d-y'

となる。変形して、

\tag{1} a \le x'-r, r+x' \le b, c \le y'-r, r+y' \le d

また、$p = (x_p,y_p) \in B(x,r)$をとると定義から

d(p,x) < r

となり、成分ごとに書くと

|x_p-x'| < r \\ |y_p-y'| < r

となる。

これを解くと、

x'-r < x_p < x'+r \\ y'-r < y_p < y'+r

$(1)$から、

a \le x'-r < x_p < x'+r \le b \\ c \le y'-r < y_p < y'+r \le d

よって

a < x_p < b \\ c < y_p < d

したがって、$p \in U$から$B(x,r) \subset U$

$\square$

あさかぜ