使う定義や命題の確認

<1> 部分集合の定義

$\forall a\in A \Big[ a\in B \Big]$であるとき$A \subset B$と書き、$A$は$B$の部分集合という。

<2> 開球体の定義（定義 0.4）

$x \in \R^n$と$r>0$に対し$\R^n$の部分集合$B(x,r)$を

B(x, r) = \{y \in \R^n | d(x,y) < r\}

と定める。$B(x,r)$を$x$を中心とした半径$r$の開球体と呼ぶ。

<3> 連続の定義（定義 0.4中で述べられているもの）

写像$f: \R^n \to \R^m $が点$a \in \R^n$において連続であるとは

\forall \varepsilon>0 \exist \delta>0 \forall x\in\R^n \Big[ d_{\R^n}(x,a) < \delta \implies d_{\R^m}(f(x),f(a)) < \varepsilon \Big]

を満たすことである。ここで任意の点$a \in \R^n$においてこれを満たすとき、写像$f: \R^n \to \R^m $は連続であると呼ぶ

<4> 開球体を用いた連続性の言い換え（命題 0.5）

写像$f: \R^n \to \R^m $が点$a \in \R^n$において連続であるとは

\forall \varepsilon>0 \exist \delta>0 \Big[ f(B_{\R^n}(a, \delta) \subset B_{\R^m}(f(a), \varepsilon)) \Big]

を満たすことである。

実際に確認する

$ f(b) \in f(B_{\R^n}(a, \delta)) $をとる。 $B_{\R^n}(a, \delta)$の定義から$b$は

d_{\R^n}(b,a) < \delta

を満たす。また、<3>から

d_{\R^m}(f(b),f(a)) < \varepsilon

である。

したがって$B_{\R^m}(f(a), \varepsilon)$の定義から$f(b) \in B_{\R^m}(f(a), \varepsilon)$が導かれ、

\forall f(b) \in f(B\_{\R^n}(a, \delta)) \Big[ f(b) \in B\_{\R^m}(f(a), \varepsilon) \Big]

となる。

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$ f(b) \in f(B_{\R^n}(a, \delta)) $をとる。 <4>から、$f(b) \in B_{\R^m}(f(a), \varepsilon)$である。

$B_{\R^m}(f(a), \varepsilon)$の定義から、

d_{\R^m}(f(b),f(a)) < \varepsilon

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